makalah matematika aplikasi turunan

MAKALAH MATEMATIKA DASAR

“APLIKASI TURUNAN”

 

Disusun Oleh :

                             DWI MENTARI( A1D011041)

                                        

                                          

Dosen Pembimbing        :

NURUL ASTUTY Y.B, S.SI, M.SI

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN BIOLOGI 

 FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

 UNIVERSITAS BENGKULU

 2012

Kata Pengantar

          Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan atas kehadirat allah SWT yang telahmemberikan kesempatan, kesehatan dan karunianya kepada kami yang tak terhingga jumlahnya sehingga kami dapat menyelesaikan karya tulis ini tepat pada waktunya.Makalah Matematika Dasar ini ynag membahas tentang Aplkasi Turunan dalam Matematika, cabang ilmu lain maupun dalam kehidupan sehari-hari.

            Tidak lupa kami mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada Ibu NURUL yang telah memberikan arahan kepada kami untuk membuat makalahini, ucapan terimakasih juga kami ucapkan kepada orang tua dan kakak kandungkami yang telah memberikan fasilitas kepada kami untuk menyelesaikan makalahini.

            Pepatah mengatakan “ Tak ada gading yang tak retak” sama halnyadengan makalah yang kami buat ini untuk itu kami mohon maaf apabila terdapatkesalahan, walaupun demikian kami berharap karya tuis ini dapat bermanfaat baik  bagi pembaca maupun bagi masyarakat umum.

           

                                                                                                Penyusun,        27  April 2012

Daftar Isi

 

Kata Pengantar………………………………………………………………....     I.

Daftar Isi……………………………………………………………………....        II

BAB I Pendahuluan…………………………………………………………...      1

I.1 Latar Belakang Masalah………………………………………………..….         1

I.2 Rumusan Makalah…………………………………………………...........          1

I.3 Tujuan Makalah…………………………………………………………..           1

BAB II Pembahasan………………………………………………………….        5

2.1 Alikasi turunan…………………………………………………………............  5

2.2 contoh aplikasi turunan dalam berbagai bidang………………………………    22

BAB III. PENUTUP………………………………………………………..           27

3.1 Kesimpulan………………………………………………………….....              27

Daftar pustaka.............................................................................................             28

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.  Latar Belakang

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.

1.2.  Rumusan Masalah

Apa saja apliksi turunan yang ada dalam ilu matematika, cabang imu lain atau dalam kehidupan sehari-hari?

1.3.  Tujuan

Dapat mengtahui dan menjelaskan beberapa Aplikasi turunan.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Aplikasi turunan

1. Maksimum dan Minimum

Misalkan kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menentukan f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa nilai-nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum.

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f , memuat titik C, kita katakana bahwa:

1. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S
2. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x di S
3. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum

Teorema A

(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim :

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yang dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuat titk-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya I = [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung. (Lihat Gambar B)

Jika c sebuah titik pada mana f’(c) = 0 disebut c titik stasioner. Pada titik stasioner, grafik f mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik stasioner. (Gambar C )

Jika c adalah titik dalam dari I dimana f’ tidak ada, disebut c titik singular. Grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular. (Gambar D) walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.

Teorema B

(Teorema titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu :

i. titik ujung I

ii. titik stasioner dari f (f’(c) = 0)

iii. titik singular dari f (f’ (c) tidak ada)

Mengingat teorema A dan B, untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I .

Langkah 1 : Carilah titik-titik kritis dari f pada I

Langkah 2 : hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

soal :

Carilah nilai- nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x² + 4x pada [-3, 1]

Penyelesaian:

Menurunkan fungsinya f’(x) = 2x + 4

Kemudian mencari titik kritis f’(x) = 0

2x + 4 = 0

X = -2

Berarti titik-titik kritis yang di dapat -3, -2, 1 maka :

f(-3) = -3

f(-2) = -4

f(1) = 5

Jadi nilai maksimum adalah 5 (dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2)

2.Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :

1. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I, x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂)
2. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I, x₁ > x₂ → f(x₁) > f(x₂)
3. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I

Teorema A

(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I

1. Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
2. Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I

Turunan Pertama dan Kemonotonan

Ingat kembali bahwa turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung f dititik x, kemudian jika f’(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f’(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)

 

Turunan Kedua dan Kecekungan

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah

Definisi:

Andaikan f terdeferensial pada selang terbuka I = (a,b). jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas disana; jika f’ turun pada I, f cekung ke bawah pada I.

Teorema B

(Teorema kecekungan). Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).

1. Jika f’’(x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b)
2. Jika f’’(x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke bawah pada (a,b)

Titik Balik

Andaikan f kontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan.

Gambar

soal :

Jika f(x) = x³ + 6x² + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?

Penyelesaian:

Mencari turunan f

f’(x) = 3x² + 12x + 9

= 3 (x² + 4x + 3)

= 3 (x+3)(X+1)

Kita perlu menentukan (x +3) (x +1) > 0 dan (x +3) (x + 1) < 0 terdapat titik pemisah -3 dan -1, membagi sumbu x atas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1, ∞). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0 didapat f `(x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f `(x) < 0 pada selang tengah.

Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [-3, -1]

Grafik

f(-3) = 3

f(-1) = -1

f(0) = 3

3.Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa :

1. f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
2. f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
3. f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal

Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.

GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL

Teorema A

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

1. Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f
2. Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f
3. Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B

(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f’’ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0

i. Jika f’’(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f

ii. Jika f’’(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f

soal :

Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x² – 8x + 7 pada (-∞,∞)

penyelesaian:

fungsi polinom kontinu dimana-mana dan turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk semua x. jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0 yakni x = 4 karena f’(x) = 2(x-4) < 0 untuk x<0, f turun pada (-∞,4) dank arena 2(x – 4)>0 untuuk x>0, f naik pada [4,∞) karena itu, f(4) = -9 adalah nilai minimum lokal f, karena 4 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.

4.Lebih Banyak Masalah Maks-Min

Masalah yang dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya menganggap bahwa himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi, selang-selang yang uncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka., setengah tetutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika ita menerapkan secara benar teori yang dikembangkan dalam pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global.

Langkah-langkahnya:

1) Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesui untuk besaran-besaran kunci

2) Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut

3) Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel-variabel ini dan karenanya enyataka Q sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x

4) Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang

5) Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0

6) Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberika maksimum atau minimum

soal :

Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x³ – 3x²+4 pada ( -∞, ∞).

Penyelesaian :

f`(x) = 3x² – 6x = x(3x – 6)

x=0 dan x= 2

f(2) = 0

f(0) = 4

fungsi memiliki nilai maksimum 4 (pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2)

5.Penerapan Ekonomik

Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan.

Untuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total C(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya.

P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x)

Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.

Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titik-titik tersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C, dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.

Penggunaaan Kata Marjinal

Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai ∆C/∆X pada saat ∆x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai Lim

Pada saat x = 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn C terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.

soal :

andaikan C(x) = 6700 + 4,15x + 30x^1/2 rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 4000

penyelesaian :

Biaya rata-rata : C(x)/x = (6700 + 4,15x + 30x ^1/2) /x

Biaya marjinal : dC/dx = 4,15 + 30x ^-1/2

Pada X = 400 diperoleh

Biaya rata-rata = 22,4 x 400 = 8960

Biaya marjinal = 4,9 x 400 = 1960

Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanya memerlukan biaya Rp. 1960.

6.Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

Definisi-definisi Cermat Limit bila x→ ± ∞

Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut.

Definisi:

(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang

x→∞

berpadanan sedemikian sehingga

X > M → │f(x) - L│ < ε

Definisi:

(Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang

x→ -∞

berpadanan sedemikian sehingga

X < M → │f(x) – L│ < ε

Definisi:

(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan

x→c⁺

positif M, berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga

0 < x – c < δ→ f(x) > M

Hubungan Terhadap Asimtot

Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika

Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b

x→∞ x→ -∞

Garis y = 0 adalah asimtot horizontal.

soal :

. lim 3x² - 2x + 6 / 6x² – 5x -9

x→ ~

lim 3x²/x² – 2x/x² + 6/x² / 6x²/x³ – 5x/x² + 9/x² = 3/6 = 1/2

x→ ~

7.Penggambaran Grafik Canggih

Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik. Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung ke atas.

POLINOM. Polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalka 3 sampai 6. kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.

FUNGSI RASIONAL. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.

RINGKASAN METODE. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu.

Langkah 1 :

Buat analisis pendahuluan sebagai berikut :

a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan.

b. Uji kesemetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?)

c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titk kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.

e. Uji titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum lokal.

f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik.

g. Cari asimtot-asimtot.

Langkah 2 :

Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik)

Langkah 3 :

Sketsakan grafik.

soal :

Sketsakan grafik f(x) = (2x⁵ – 30x³)/108

penyelesaian :

karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik asal. Dengan menetapkan f(x) = 0 berarti {2x⁵ – 30x³}/108 = 0 dan x³(2x² – 30)/108 = 0

kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan ± Ö15 » 3,85 Kemudian kita deferensialkan f’(x) = (10x⁴ – 90x²)/108 = {10x² (x²-9)}/108

kita peroleh titik kritis -3, 0, 3

f(-3) = 3

f(0) = 0

f(3) = 12

kemudian kita deferensialkan kembali f”(x) = (40x³ -180x)/108 = {x(40x²-180)}/108

kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0

f(-2.1) = 1.8

f(2.1) = -1.8

f(0) = 0

8.Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus – tidak begitu penting, tetapi sering kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajat talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan dalam Gambar 2 terdapat beberapa.

GAMBAR 1 dan 2

Teorema A

(Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana

f(b) – f(a) / b – a = f’(c)

atau secara setara, dimana

f(b) – f(a) = f’(c) (b-a)

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua –x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x) = G(x) + C

Untuk semua x dalam (a,b)

soal:

Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x² – 3 pada [1,3]

penyelesaian :

f’(x) = 2x

dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4

jadi kita harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2

jawaban tunggal adalah C = 2

2.2 BEBERAPA CONTOH APLIKASI TURUNAN DALAM BERBAGAI BIDANG

1.  Pada bidang Tekhnik

Pada bidang Tekhnik penggunaan turunan dapat membantu programer dalam pembuatan aplikasi dari mesin – mesin yang handal.

Contohnya : Para Enginer dalam membuat / mendisain mesin – mesin pesawat terbang.

2. Pada bidang Matematika

Turunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunan juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.

Contoh penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :

Tentukan persamaan garis singgung dari y = x³ - 2x² - 5 pada titik (3,2).

Jawab :

Y=f(x)= x³-2x²-5

Y=f(x)=3x²-4x f ’(3) = 3(3)² - 4(3) = 15 ; m = 15.

Rumus pers. Garis singgung :

y-y_o = m (x-x_o)

, maka garis singgung fungsi diatas adalah :

Y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43

3.    APLIKASI TURUNAN DALAM BIDANG EKONOMI   

          Penerapan penggunaan turunan parsial matematika pada kehidupan sehari-hari sangat banyak. Hampir semua bidang ada. Namun pada saat ini saya akan menjelaskan penggunaan turunan parsial dalam bidang ekonomi.

            Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marjinal, yaitu dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal  sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal sebagai dp/dx.

Berikut contoh soalnya

            sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x² dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?

Penyelasaian

biaya rata-rata = C(x)/x

= 3200+3,25x-0,0003x² / X

= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)² / 1000

= 6150 / 1000 = 6,15

Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150

biaya marjinal = dc/dx

= 3,25-0,0006x

= 3,25-0.0006 (1000)

= 2,65

maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000

            Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang  setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.

Demikian postingan saya tentang turunan parsial. Mohon maaf bila ada kesalahan Semoga postingan ini bermanfaat. Jika anda butuh postingan yang lain, anda bisa meninggalkan comment dan saya akan berusaha memposting postingan yang anda butuhkan.

ELASTISITAS

            Dalam ilmu ekonomi, elastisitas adalah perbandingan perubahan proporsional dari sebuah variabel dengan perubahan variable lainnya. Dengan kata lain, elastisitas mengukur seberapa besar besar kepekaan atau reaksi konsumen terhadap perubahan harga.

            Penggunaan paling umum dari konsep elastisitas ini adalah untuk meramalkan apa yang akan barang/jasa dinaikkan. Pengetahuan mengenai seberapa dampak perubahan harga terhadap permintaan sangatlah penting. Bagi produsen, pengetahuan ini digunakan sebagai pedoman seberapa besar ia harus mengubah harga produknya. Hal ini sangat berkaitan dengan seberapa besar penerimaan penjualan yang akan ia peroleh. Sebagai contoh, anggaplah biaya produksi sebuah barang meningkat sehingga seorang produsen terpaksa menaikkan harga jual produknya. Menurut hukum permintaan, tindakan menaikkan harga ini jelas akan menurunkan permintaan. Jika permintaan hanya menurun dalam jumlah yang kecil, kenaikan harga akan menutupi biaya produksi sehingga produsen masih mendapatkan keuntungan. Namun, jika peningkatan harga ini ternyata menurunkan permintaan demikian besar, maka bukan keuntungan yang ia peroleh. Hasil penjualannya mungkin saja tidak dapat menutupi biaya produksinya, sehingga ia menderita kerugian. Jelas di sini bahwa produsen harus mempertimbangkan tingkat elastisitas barang produksinya sebelum membuat suatu keputusan. Ia harus memperkirakan seberapa besar kepekaan konsumen atau seberapa besar konsumen akan bereaksi jika ia mengubah harga sebesar sepuluh persen, dua puluh persen, dan seterusnya.

DEFINISI MATEMATIS

Koefesien elastisitas diukur dari persentase perubahan kuantitas barang dibagi dengan persentase perubahan harga. Secara sederhana kalimat tersebut dapat dirumuskan:

Atau secara umum, elastisitas “y terhadap x” adalah:

Elastisitas biasa disimbolkan sebagai ‘E’, ‘e’ atau epsilon kecil, ‘ε’. Selain elastisitas linier tersebut ada juga elastisitas non linier

sumber

4.    Aplikasi Turunan Parsial Dalam Bidang Fisika

            Matematika merupakan ilmu dasar dari segala ilmu yang lain,sekarng ini matematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang ilmu pengetahuan,salah satunya dalam bidang pengetahuan fisika dengan menghubungkan fungsi suatu turunan parsial dalam bidang tersebut.

            Sebelum diperjelas apa saja hubungan diatas kita harus tahu dulu definisi dari turunan parsial itu sendiri. Turunan parsial itu adalah suatu proses melakukan differensial  dari suatu fungsi yang hanya melibatkan satu macam variabel dari keseluruhan variabel yang berkontribusi terhadap perubahan fungsi tersebut.

            Berikut ini adalah contoh turunan parsial yang menggunakan 3 variabel. Dalam bidang fisika saya mengambil contoh rumus jarak yang ditempuh oleh benda yaitu: y = ½gx²+v_0x+y₀ dimana y₀ menyatakan jarak awal dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan menjadi turunan yang pertama y’ = dy/dx maka akan menjadi y= gx+v₀, dimana v₀menyatakan kecepatan awal. Rumus ini masih bisa diturunkan menjadi turunan yang kedua yaitu d2y/dx2, menjadiy=g(konstan), sehingga menjadi rumus percepatan, dimana jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi.

Sehingga kita dapat mengetahui bahwa dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan rumus-rumus dari turunan sebelumnya. Seperti rumus diatas dari rumus jarak,hingga dapat rumus percepatan. Rumus-rumus itu didapat hanya dari satu rumus saja.

Dengan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu fungsi dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.

5.    Besaran Turunan dan Satuannya Dalam Ilmu Fisika - Fisika

            Besaran Turunan adalah besaran yang terbentuk dari satu atau lebih besaran pokok yang ada. Besaran adalah segala sesuatu yang memiliki nilai dan dapat dinyatakan dengan angka.

            Misalnya adalah luas yang merupakan hasil turunan satuan panjang dengan satuan meter persegi atau m pangkat 2 (m^2). Luas didapat dari mengalikan panjang dengan panjang.

            Berikut ini adalah berbagai contoh besaran turunan sesuai dengan sistem internasional / SI yang diturunkan dari sistem MKS (meter - kilogram - sekon/second) :

- Besaran turunan energi satuannya joule dengan lambang J
- Besaran turunan gaya satuannya newton dengan lambang N
- Besaran turunan daya satuannya watt dengan lambang W
- Besaran turunan tekanan satuannya pascal dengan lambang Pa
- Besaran turunan frekuensi satuannya Hertz dengan lambang Hz
- Besaran turunan muatan listrik satuannya coulomb dengan lambang C
- Besaran turunan beda potensial satuannya volt dengan lambang V
- Besaran turunan hambatan listrik satuannya ohm dengan lambang ohm
- Besaran turunan kapasitas kapasitor satuannya farad dengan lambang F
- Besaran turunan fluks magnet satuannya tesla dengan lambang T
- Besaran turunan induktansi satuannya henry dengan lambang H
- Besaran turunan fluks cahaya satuannya lumen dengan lambang ln
- Besaran turunan kuat penerangan satuannya lux dengan lambang lx

 

 

BAB III

PENUTUP

3.1    Kesimpulan

 

            Dari uraian pembahasan di atas dapat disimpulkan aplikasi turunan:

1. Maksimum dan Minimum

2.      Kemonotonan dan Kecekungan

3.      Maksimum dan Minimum Lokal

4.      Lebih Banyak Masalah Maks-Min

5.      Penerapan Ekonomik

6.      Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

7.      Teorema Nilai Rata-Rata

8.      Penggambaran Grafik Canggih

Sedangkan apilkasi nya dalam berbagai bidang

1.      Dalam bidang tehnik

2.      Dalam bidang matematika

3.      Dalam bidang ekonomi

4.      Dalam bidang fisika

               

 

 

 

 

 

 

 

 

Daftar Pustaka

 

Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus jilid 1. Jakarta: Erlangga

 

Sari, Intan. 2009. Penggunaan turunan.

      http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/ (diakses     tanggal 22 April 2012)

 

Setiawan. 2004. PDF Pengantar kalkulus. http://Depdiknas.yogyakarta.com/

            (diakses taggal 22 April 2012)

 

Sutrisno,agung. 2009. Matematika dasar.WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM     (diakses tanggal 22 April 2012)