MAKALAH
MATEMATIKA DASAR
“APLIKASI TURUNAN”
Disusun Oleh :
DWI
MENTARI( A1D011041)
Dosen
Pembimbing :
NURUL
ASTUTY Y.B, S.SI, M.SI
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN BIOLOGI
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS BENGKULU
2012
Kata Pengantar
Alhamdulillah puji syukur kami
panjatkan atas kehadirat allah SWT yang telahmemberikan kesempatan, kesehatan
dan karunianya kepada kami yang tak terhingga jumlahnya sehingga kami
dapat menyelesaikan karya tulis ini tepat pada waktunya.Makalah Matematika Dasar ini ynag
membahas tentang Aplkasi Turunan dalam Matematika, cabang ilmu lain maupun
dalam kehidupan sehari-hari.
Tidak
lupa kami mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada Ibu NURUL yang
telah memberikan arahan kepada kami untuk membuat makalahini, ucapan
terimakasih juga kami ucapkan kepada orang tua dan kakak kandungkami yang telah
memberikan fasilitas kepada kami untuk menyelesaikan makalahini.
Pepatah mengatakan “ Tak ada gading yang tak
retak” sama halnyadengan makalah yang kami buat ini untuk itu kami mohon
maaf apabila terdapatkesalahan, walaupun demikian kami berharap karya tuis ini
dapat bermanfaat baik bagi pembaca maupun bagi masyarakat umum.
Penyusun, 27 April 2012
Daftar Isi
Kata Pengantar……………………………………………………………….... I.
Daftar Isi…………………………………………………………………….... II
BAB I Pendahuluan…………………………………………………………... 1
I.1 Latar Belakang
Masalah………………………………………………..…. 1
I.2 Rumusan Makalah…………………………………………………........... 1
I.3 Tujuan
Makalah………………………………………………………….. 1
BAB II Pembahasan…………………………………………………………. 5
2.1 Alikasi turunan…………………………………………………………............ 5
2.2 contoh aplikasi turunan dalam
berbagai bidang……………………………… 22
BAB III. PENUTUP……………………………………………………….. 27
3.1
Kesimpulan…………………………………………………………..... 27
Daftar
pustaka............................................................................................. 28
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Turunan adalah salah satu cabang
ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu
variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep
turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan
oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu
alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir
Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal
sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan
tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa
ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan
berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.
1.2. Rumusan Masalah
Apa saja apliksi turunan
yang ada dalam ilu matematika, cabang imu lain atau dalam kehidupan
sehari-hari?
1.3. Tujuan
Dapat
mengtahui dan menjelaskan beberapa Aplikasi turunan.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Aplikasi turunan
- Maksimum dan Minimum
Misalkan
kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar
A. maka kita akan menentukan f memiliki nilai maksimum atau minimum pada
S. Anggap saja bahwa nilai-nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lanjut
dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan
nilai-nilai maksimum dan minimum.
Definisi :
Andaikan S,
daerah asal f , memuat titik C, kita katakana bahwa:
- f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S
- f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x di S
- f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum
Teorema A
(Teorema
Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b],
maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.
Terjadinya
Nilai-Nilai Ekstrim :
Biasanya
fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I
sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan
tipe yang dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuat titk-titik ujung;
beberapa tidak. Misalnya I = [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya;
(a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk ujung satupun.
Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering
kali terjadi pada titik-titik ujung. (Lihat Gambar B)
Jika c
sebuah titik pada mana f’(c) = 0 disebut c titik stasioner. Pada titik
stasioner, grafik f mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai
ekstrim terjadi pada titik-titik stasioner. (Gambar C )
Jika c
adalah titik dalam dari I dimana f’ tidak ada, disebut c titik
singular. Grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal.
Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular. (Gambar D)
walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.
Teorema B
(Teorema
titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I
yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah
suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu :
i. titik
ujung I
ii. titik
stasioner dari f (f’(c) = 0)
iii. titik
singular dari f (f’ (c) tidak ada)
Mengingat
teorema A dan B, untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu
fungsi kontinu f pada selang tertutup I .
Langkah 1 :
Carilah titik-titik kritis dari f pada I
Langkah 2 :
hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan
yang terkecil adalah nilai minimum.
Carilah
nilai- nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x2 + 4x pada [-3, 1]
Penyelesaian:
Menurunkan
fungsinya f’(x) = 2x + 4
Kemudian
mencari titik kritis f’(x) = 0
2x + 4 = 0
X = -2
Berarti
titik-titik kritis yang di dapat -3, -2, 1 maka :
f(-3) = -3
f(-2) = -4
f(1) = 5
Jadi nilai
maksimum adalah 5 (dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada
-2)
2.Kemonotonan
dan Kecekungan
Definisi :
Andaikan f
terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita
katakan bahwa :
- f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 → f(x1) < f(x2)
- f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 > x2 → f(x1) > f(x2)
- f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I
Teorema A
(Teorema
Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan
dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I
- Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
- Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I
Turunan
Pertama dan Kemonotonan
Ingat
kembali bahwa turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis
singgung f dititik x, kemudian jika f’(x) > 0, garis singgung
naik ke kanan, serupa, jika f’(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan.
(Gambar A)
Turunan
Kedua dan Kecekungan
Sebuah
fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar
B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita
bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah
putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis
singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah
Definisi:
Andaikan f
terdeferensial pada selang terbuka I = (a,b). jika f’ naik pada I,
f (dan grafiknya) cekung ke atas disana; jika f’ turun
pada I, f cekung ke bawah pada I.
Teorema B
(Teorema
kecekungan). Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang
terbuka (a,b).
- Jika f’’(x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b)
- Jika f’’(x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke bawah pada (a,b)
Titik Balik
Andaikan f
kontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f
jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi
lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan.
Gambar
soal :
Jika f(x) =
x3 + 6x2 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?
Penyelesaian:
Mencari
turunan f
f’(x) = 3x2
+ 12x + 9
= 3 (x2
+ 4x + 3)
= 3
(x+3)(X+1)
Kita perlu menentukan (x +3)
(x +1) > 0 dan (x +3) (x + 1) < 0 terdapat titik
pemisah -3 dan -1, membagi sumbu x atas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1)
dan (-1, ∞). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0 didapat f `(x)
> 0 pada pertama dan akhir selang dan f `(x) < 0 pada
selang tengah.
Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1,
∞) dan turun pada [-3, -1]
Grafik
f(-3) = 3
f(-1) = -1
f(0) = 3
3.Maksimum
dan Minimum Lokal
Definisi :
Andaikan S,
daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa :
- f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
- f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
- f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal
Teorema
titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim
diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah
positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak
lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.
GAMBAR
MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL
Teorema A
(Uji Turunan
Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada
selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.
- Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f
- Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f
- Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Teorema B
(Uji Turunan
Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f’’ ada pada setiap
titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0
i. Jika f’’(c)
< 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f
ii. Jika f’’(c)
> 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f
soal :
Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi
f(x) = x2 – 8x + 7 pada (-∞,∞)
penyelesaian:
fungsi polinom kontinu dimana-mana
dan turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk semua x. jadi satu-satunya titik
kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0 yakni x = 4 karena
f’(x) = 2(x-4) < 0 untuk x<0, f turun pada (-∞,4) dank arena 2(x – 4)>0
untuuk x>0, f naik pada [4,∞) karena itu, f(4) = -9 adalah nilai minimum
lokal f, karena 4 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai
ekstrim lain. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.
4.Lebih
Banyak Masalah Maks-Min
Masalah yang
dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya menganggap bahwa himpunan pada mana kita
ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup.
Tetapi, selang-selang yang uncul dalam praktek tidak selalu tertutup;
kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka., setengah tetutup. Kita
masih tetap menangani masalah ini jika ita menerapkan secara benar teori yang
dikembangkan dalam pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa
kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global.
Langkah-langkahnya:
1) Buat
sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesui untuk
besaran-besaran kunci
2) Tuliskan
rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk
variabel-variabel tersebut
3) Gunakan kondisi-kondisi
masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel-variabel ini dan
karenanya enyataka Q sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x
4) Tentukan
himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang
5) Tentukan
titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling
sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0
6) Gunakan
teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberika maksimum atau
minimum
soal :
Cari (jika mungkin) nilai maksimum
dan minimum dari f(x) = x3 – 3x2+4
pada ( -∞, ∞).
Penyelesaian
:
f`(x) = 3x2
– 6x = x(3x – 6)
x=0 dan x= 2
f(2) = 0
f(0) = 4
fungsi
memiliki nilai maksimum 4 (pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2)
5.Penerapan
Ekonomik
Dalam
mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus.
Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun
ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan
bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh
R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan.
Untuk
memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total C(x).
Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar
untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan
dan biaya.
P(x) = R(x)
– C(x) = x p(x) – C(x)
Umumnya,
sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.
Pada
dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan
P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai
akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat
mempergunakan kalkulus, titik-titik tersebut kita hubungkan satu sama
lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C, dan P dapat dianggap ebagai
fungsi yang dapat dideferensialkan.
Penggunaaan
Kata Marjinal
Andaikan ABC
mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakan memproduksi
2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika
fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai
∆C/∆X pada saat ∆x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat
terhadap nilai Lim
Pada saat x
= 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn C
terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx,
pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.
soal :
andaikan C(x) = 6700 + 4,15x + 30x1/2
rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka
bilamana x = 4000
penyelesaian :
Biaya rata-rata : C(x)/x = (6700 +
4,15x + 30x 1/2) /x
Biaya marjinal : dC/dx = 4,15 + 30x -1/2
Pada X = 400 diperoleh
Biaya rata-rata = 22,4 x 400 = 8960
Biaya marjinal = 4,9 x 400 = 1960
Ini berarti bahwa rata-rata biaya
tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400satuan yang pertama, untuk
memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanya memerlukan biaya Rp. 1960.
6.Limit di
Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi-definisi
Cermat Limit bila x→ ± ∞
Dalam
analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii
berikut.
Definisi:
(Limit bila
x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan
bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang
x→∞
berpadanan
sedemikian sehingga
X > M →
│f(x) - L│ < ε
Definisi:
(Limit bila
x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita
katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan
M yang
x→ -∞
berpadanan
sedemikian sehingga
X < M →
│f(x) – L│ < ε
Definisi:
(Limit-limit
tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan
x→c+
positif M,
berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga
0 < x – c
< δ→ f(x) > M
Hubungan
Terhadap Asimtot
Garis x = c
adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah
asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical.
Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y =
f(x) jika
Lim f(x) = b
atau Lim f(x) = b
x→∞ x→ -∞
Garis y = 0
adalah asimtot horizontal.
soal :
. lim 3x2 - 2x + 6 / 6x2
– 5x -9
x→ ~
lim 3x2/x2 –
2x/x2 + 6/x2 / 6x2/x3 – 5x/x2 +
9/x2 = 3/6 = 1/2
x→ ~
7.Penggambaran
Grafik Canggih
Kalkulus
menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik,
khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri
grafik. Kita dapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum
lokal, dan titik-titik balik. Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik
naik atau dimana cekung ke atas.
POLINOM. Polinom
derajat 1 atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yang berderajat 50 hampir
mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalka 3 sampai 6. kita dapat
memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.
FUNGSI
RASIONAL. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit
untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan
perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.
RINGKASAN
METODE. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal
sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu.
Langkah 1 :
Buat
analisis pendahuluan sebagai berikut :
a. Periksa
daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang
yang dikecualikan.
b. Uji
kesemetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?)
c. Cari
perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.
d. Gunakan
turunan pertama untuk mencari titik-titk kritis dan untuk mengetahui
tempat-tempat grafik naik dan turun.
e. Uji
titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum lokal.
f. Gunakan
turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung
ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik.
g. Cari
asimtot-asimtot.
Langkah 2 :
Gambarkan
beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik)
Langkah 3 :
Sketsakan
grafik.
soal :
Sketsakan grafik f(x) = (2x5
– 30x3)/108
penyelesaian :
karena f(-x) = -f(x), f adalah
fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik asal. Dengan
menetapkan f(x) = 0 berarti {2x5 – 30x3}/108 = 0 dan x3(2x2
– 30)/108 = 0
kita temukan perpotongan sumbu x
adalah 0 dan ± Ö15 » 3,85
Kemudian kita deferensialkan f’(x) = (10x4 – 90x2)/108 =
{10x2 (x2-9)}/108
kita peroleh titik kritis -3, 0, 3
f(-3) = 3
f(0) = 0
f(3) = 12
kemudian kita deferensialkan kembali
f”(x) = (40x3 -180x)/108 = {x(40x2-180)}/108
kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0
f(-2.1) = 1.8
f(2.1) = -1.8
f(0) = 0
8.Teorema
Nilai Rata-Rata
Teorema
nilai rata-rata adalah bidang kalkulus – tidak begitu penting, tetapi sering
kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa
geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema
mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak
vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu
titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajat
talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan
dalam Gambar 2 terdapat beberapa.
GAMBAR 1 dan
2
Teorema A
(Teorema
Nilai rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang
tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka
terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana
f(b)
– f(a) / b – a = f’(c)
atau secara
setara, dimana
f(b) – f(a)
= f’(c) (b-a)
Teorema B
Jika F’(x) =
G’(x) untuk semua –x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga
F(x) = G(x) + C
Untuk semua
x dalam (a,b)
soal:
Cari
bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x2
– 3 pada [1,3]
penyelesaian :
f’(x) = 2x
dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 –
(-2)}/2 = 8/2 = 4
jadi kita harus menyelesaikan 2C = 4
maka C = 2
jawaban tunggal adalah C = 2
2.2 BEBERAPA CONTOH APLIKASI TURUNAN
DALAM BERBAGAI BIDANG
1. Pada bidang Tekhnik
Pada
bidang Tekhnik penggunaan turunan dapat membantu programer dalam pembuatan
aplikasi dari mesin – mesin yang handal.
Contohnya
: Para Enginer dalam membuat / mendisain mesin – mesin pesawat
terbang.
2. Pada bidang Matematika
Turunan
digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di
faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu ,
Aplikasi turunan juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.
Contoh
penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :
Tentukan
persamaan garis singgung dari y = x3 - 2x2 - 5
pada titik (3,2).
Jawab :
Y=f(x)= x3-2x2-5
Y=f(x)=3x2-4x f
’(3) = 3(3)2 - 4(3) = 15 ; m = 15.
Rumus pers.
Garis singgung :
y-yo =
m (x-xo)
, maka garis
singgung fungsi diatas adalah :
Y – 2 = 15 (x
– 3) atau y = 15x – 43
3. APLIKASI TURUNAN DALAM
BIDANG EKONOMI
Penerapan penggunaan turunan parsial
matematika pada kehidupan sehari-hari sangat banyak. Hampir semua bidang ada.
Namun pada saat ini saya akan menjelaskan penggunaan turunan parsial dalam
bidang ekonomi.
Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marjinal, yaitu
dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total. Bisa ditulis biaya
marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal
sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. dengan demikian dapat didefinisikan harga
marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan
marjinal sebagai dp/dx.
Berikut
contoh soalnya
sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000.
tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?
Penyelasaian
biaya
rata-rata = C(x)/x
=
3200+3,25x-0,0003x2 /
X
=
3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 /
1000
= 6150 /
1000 = 6,15
Maka
biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150
biaya
marjinal = dc/dx
=
3,25-0,0006x
=
3,25-0.0006 (1000)
= 2,65
maka
biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000
Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi
1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang
setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000
barang yang sama.
Demikian
postingan saya tentang turunan parsial. Mohon maaf bila ada kesalahan Semoga
postingan ini bermanfaat. Jika anda butuh postingan yang lain, anda bisa
meninggalkan comment dan saya akan berusaha memposting postingan yang anda
butuhkan.
ELASTISITAS
Dalam ilmu ekonomi, elastisitas adalah perbandingan perubahan proporsional dari
sebuah variabel dengan perubahan variable lainnya. Dengan kata lain,
elastisitas mengukur seberapa besar besar kepekaan atau reaksi konsumen
terhadap perubahan harga.
Penggunaan paling umum dari konsep elastisitas ini adalah untuk meramalkan apa
yang akan barang/jasa dinaikkan. Pengetahuan mengenai seberapa dampak perubahan
harga terhadap permintaan sangatlah penting. Bagi produsen, pengetahuan ini
digunakan sebagai pedoman seberapa besar ia harus mengubah harga produknya. Hal
ini sangat berkaitan dengan seberapa besar penerimaan penjualan yang akan ia
peroleh. Sebagai contoh, anggaplah biaya produksi sebuah barang meningkat
sehingga seorang produsen terpaksa menaikkan harga jual produknya. Menurut
hukum permintaan, tindakan menaikkan harga ini jelas akan menurunkan
permintaan. Jika permintaan hanya menurun dalam jumlah yang kecil, kenaikan
harga akan menutupi biaya produksi sehingga produsen masih mendapatkan
keuntungan. Namun, jika peningkatan harga ini ternyata menurunkan permintaan
demikian besar, maka bukan keuntungan yang ia peroleh. Hasil penjualannya
mungkin saja tidak dapat menutupi biaya produksinya, sehingga ia menderita
kerugian. Jelas di sini bahwa produsen harus mempertimbangkan tingkat
elastisitas barang produksinya sebelum membuat suatu keputusan. Ia harus
memperkirakan seberapa besar kepekaan konsumen atau seberapa besar konsumen
akan bereaksi jika ia mengubah harga sebesar sepuluh persen, dua puluh persen,
dan seterusnya.
DEFINISI MATEMATIS
Koefesien elastisitas diukur dari
persentase perubahan kuantitas barang dibagi dengan persentase perubahan harga.
Secara sederhana kalimat tersebut dapat dirumuskan:
Atau secara umum, elastisitas “y
terhadap x” adalah:
Elastisitas biasa disimbolkan
sebagai ‘E’, ‘e’ atau epsilon kecil, ‘ε’. Selain elastisitas linier tersebut
ada juga elastisitas non linier
sumber
4. Aplikasi Turunan Parsial Dalam
Bidang Fisika
Matematika merupakan ilmu dasar dari segala ilmu yang
lain,sekarng ini matematika digunakan sebagai alat penting di
berbagai bidang ilmu pengetahuan,salah satunya dalam bidang pengetahuan fisika
dengan menghubungkan fungsi suatu turunan parsial dalam bidang tersebut.
Sebelum diperjelas apa saja hubungan diatas kita harus tahu dulu definisi
dari turunan parsial itu sendiri. Turunan parsial itu adalah suatu proses
melakukan differensial dari suatu fungsi yang hanya melibatkan satu macam
variabel dari keseluruhan variabel yang berkontribusi terhadap perubahan fungsi
tersebut.
Berikut ini adalah contoh turunan parsial yang menggunakan 3 variabel. Dalam
bidang fisika saya mengambil contoh rumus jarak yang ditempuh oleh benda yaitu: y
= ½gx2+v0x+y0 dimana y0 menyatakan
jarak awal dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan menjadi turunan yang
pertama y’ = dy/dx maka akan menjadi y= gx+v0, dimana v0menyatakan
kecepatan awal. Rumus ini masih bisa diturunkan menjadi turunan yang kedua
yaitu d2y/dx2, menjadiy=g(konstan), sehingga menjadi rumus percepatan,
dimana jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu di atas permukaan
bumi.
Sehingga
kita dapat mengetahui bahwa dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan
rumus-rumus dari turunan sebelumnya. Seperti rumus diatas dari rumus
jarak,hingga dapat rumus percepatan. Rumus-rumus itu didapat hanya dari satu
rumus saja.
Dengan
demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu fungsi
dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.
5. Besaran Turunan dan
Satuannya Dalam Ilmu Fisika - Fisika
Besaran Turunan adalah besaran yang terbentuk dari satu atau lebih besaran
pokok yang ada. Besaran adalah segala sesuatu yang memiliki nilai dan dapat
dinyatakan dengan angka.
Misalnya adalah luas yang merupakan hasil turunan satuan panjang dengan satuan
meter persegi atau m pangkat 2 (m^2). Luas didapat dari mengalikan panjang
dengan panjang.
Berikut ini adalah berbagai contoh besaran turunan sesuai dengan sistem
internasional / SI yang diturunkan dari sistem MKS (meter - kilogram -
sekon/second) :
- Besaran
turunan energi satuannya joule dengan lambang J
- Besaran turunan gaya satuannya newton dengan lambang N
- Besaran turunan daya satuannya watt dengan lambang W
- Besaran turunan tekanan satuannya pascal dengan lambang Pa
- Besaran turunan frekuensi satuannya Hertz dengan lambang Hz
- Besaran turunan muatan listrik satuannya coulomb dengan lambang C
- Besaran turunan beda potensial satuannya volt dengan lambang V
- Besaran turunan hambatan listrik satuannya ohm dengan lambang ohm
- Besaran turunan kapasitas kapasitor satuannya farad dengan lambang F
- Besaran turunan fluks magnet satuannya tesla dengan lambang T
- Besaran turunan induktansi satuannya henry dengan lambang H
- Besaran turunan fluks cahaya satuannya lumen dengan lambang ln
- Besaran turunan kuat penerangan satuannya lux dengan lambang lx
- Besaran turunan gaya satuannya newton dengan lambang N
- Besaran turunan daya satuannya watt dengan lambang W
- Besaran turunan tekanan satuannya pascal dengan lambang Pa
- Besaran turunan frekuensi satuannya Hertz dengan lambang Hz
- Besaran turunan muatan listrik satuannya coulomb dengan lambang C
- Besaran turunan beda potensial satuannya volt dengan lambang V
- Besaran turunan hambatan listrik satuannya ohm dengan lambang ohm
- Besaran turunan kapasitas kapasitor satuannya farad dengan lambang F
- Besaran turunan fluks magnet satuannya tesla dengan lambang T
- Besaran turunan induktansi satuannya henry dengan lambang H
- Besaran turunan fluks cahaya satuannya lumen dengan lambang ln
- Besaran turunan kuat penerangan satuannya lux dengan lambang lx
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Dari
uraian pembahasan di atas dapat disimpulkan aplikasi turunan:
- Maksimum dan Minimum
2. Kemonotonan
dan Kecekungan
3. Maksimum
dan Minimum Lokal
4. Lebih
Banyak Masalah Maks-Min
5. Penerapan
Ekonomik
6. Limit di
Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
7.
Teorema Nilai Rata-Rata
8. Penggambaran
Grafik Canggih
Sedangkan
apilkasi nya dalam berbagai bidang
1. Dalam bidang tehnik
2. Dalam bidang matematika
3. Dalam bidang ekonomi
4. Dalam bidang fisika